Question

已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax²+

1

2

，a∈R．
（1）当a=-

1

3

时，求f（x）的最大值；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）如果对任意x₁，x₂∈（0，+∞），|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：压轴题,导数的综合应用

分析：（1）当a=-

1

3

时，求f（x））=

2

3

lnx-

1

3

x²+

1

2

，先确定函数的定义域，然后求导研究单调性求最大值；
（2）求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出单调区间；
（3）根据第一问的单调性先对|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|进行化简整理，转化成研究g（x）=f（x）+4x在（0，+∞）单调性问题，然后再转化成导函数在（0，+∞）上恒大于等0或恒小于等于的恒成立问题．

解答： 解：（1）当a=-

1

3

时，求f（x））=

2

3

lnx-

1

3

x²+

1

2

，定义域为（0，+∞）
f′（x）=

2

3

x-

2

3

x=

2-2x2

3x

=-

2(x+1)(x-1)

3x

，…2分
所以f（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞），…3分
所以f（x）_max=f（1）=

1

6

…4分
（2）对函数f（x）=（a+1）lnx+ax²+

1

2

，定义域为（0，+∞）
求导得：f′（x）=

a+1

x

+2ax=

2ax2+a+1

x

，…5分
对参数a进行讨论：
当a≥0时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增；…6分
当a≤-1时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）上单调递减；…7分
当-1＜a＜0时，令f′（x）=0，解得x=

- a+1 2a

，
则当x∈（0，

- a+1 2a

），f′（x）＞0；当x∈（

- a+1 2a

，+∞），f′（x）＜0；
故f（x）在∈（0，

- a+1 2a

）上单调递增；在（

- a+1 2a

，+∞）单调递减；…8分
（3）不妨设0＜x₁＜x₂，
①当a≥0时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增，即f（x₂）-4x₂≥f（x₁）-4x₁ 恒成立；
构造函数g（x）=f（x）-4x，需证g（x）=f（x）-4x在（0，+∞）上单调递增，
即证g′（x）=f′（x）-4=

a+1

x

+2ax-4≥0，即2ax²-4x+a+1≥0（x＞0）恒成立．
当a=0时，则由-4x+1＞0得x＞

1

4

，不合题意，即a≠0，则a＞0；
根据二次函数y=2ax²-4x+a+1（x＞0）开口方向向上，对称轴x=

1

a

＞0
所以只需△≤0可得16-8a（a+1）≤0，解得a≥1（a≤-2舍去）；…10分
②当a≤-1时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）上单调递减；去绝对值整理得，
f（x₂）+4x₂≥f（x₁）+4x₁ 恒成立；构造函数g（x）=f（x）+4x，需证g（x）=f（x）+4x在（0，+∞）上单调递减，
 即g′（x）=f′（x）+4=

a+1

x

+2ax+4≤0，即2ax²+4x+a+1≥0（x＞0）恒成立．
根据二次函数y=2ax²+4x+a+1（x＞0）开口方向向下，对称轴x=

1

a

＞0，
所以只需△≤0可得16-8a（a+1）≤0，解得a≤-2，（a≥1舍去）；…12分
③当-1＜a＜0时，f（x）在∈（0，

- a+1 2a

）上单调递增；在（

- a+1 2a

，+∞）单调递减；此时
|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|等价于f（x₂）-4x₂≥f（x₁）-4x₁ 恒成立或者f（x₂）+4x₂≤f（x₁）+4x₁
恒成立，由前面过程可知：a≥1或a≤-2，这与-1＜a＜0不符，故此种情况无解；
综上可知，实数a的取值范围为（-∞，-2]∪[1，+∞）…14分

点评：本题综合性较强，利用导数求函数的最值；利用导数研究函数的单调性，关键是要把握好分类的标准，知道如何分类；第（3）问思维量较大，关键是通过分析式子的特点，通过构造函数，转化成研究函数的单调性．本题考查了分类讨论、数形结合、转化与化归和构造函数等重要的数学思想．