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已知函数y=f(x),x∈D,如果对于定义域D内的任意实数x,对于给定的非零常数m,总存在非零常数T,恒有f(x+T)>m•f(x)成立,则称函数f(x)是D上的m级类增周期函数,周期为T.若恒有f(x+T)=m•f(x)成立,则称函数f(x)是D上的m级类周期函数,周期为T.
(1)试判断函数f(x)=是否为(3,+∞)上的周期为1的2级类增周期函数?并说明理由;
(2)已知函数f(x)=-x2+ax是[3,+∞)上的周期为1的2级类增周期函数,求实数a的取值范围;
(3)下面两个问题可以任选一个问题作答,如果你选做了两个,我们将按照问题(Ⅰ)给你记分.
(Ⅰ)已知T=1,y=f(x)是[0,+∞)上m级类周期函数,且y=f(x)是[0,+∞)上的单调递增函数,当x∈[0,1)时,f(x)=2x,求实数m的取值范围.
(Ⅱ)已知当x∈[0,4]时,函数f(x)=x2-4x,若f(x)是[0,+∞)上周期为4的m级类周期函数,且y=f(x)的值域为一个闭区间,求实数m的取值范围.
【答案】分析:(1)由题意可求得,f(x+1)>2f(x)对一切x∈(3,+∞)恒成立,于是有函数f(x)=是(3,+∞)上的周期为1的2级类增周期函数;
(2)由题意可知::(x-1)a<x2-2x-1,整理可得a<x-1-,令x-1=t,则t∈[2,+∞),g(t)=t-在[2,+∞)上单调递增,即可使问题解决;
(3)(Ⅰ)由x∈[0,1)时,f(x)=2x,可求得当x∈[1,2)时,f(x)=mf(x-1)=m•2x-1,…当x∈[n,n+1)时,f(x)=mn•2x-n,利用f(x)在[0,+∞)上单调递增,可得
m>0且mn•2n-n≥mn-1•2n-(n-1),从而可求实数m的取值范围;
(Ⅱ)当x∈[0,4]时,y∈[-4,0],且有f(x+4)=mf(x),于是可求当x∈[4n,4n+4],n∈Z时,f(x)=mn[(x-4n)2-4(x-4n)],对m分当0<m≤1时,-1<m<0,m=-1,m>1与m<-1时的讨论,即可得答案;
解答:解:(1)∵(x+1-1)-(x-1)2=-(x2-3x+1)<0,即)(x+1-1)<(x-1)2
,即 >2
即 f(x+1)>2f(x)对一切x∈(3,+∞)恒成立,
故函数f(x)=是(3,+∞)上的周期为1的2级类增周期函数.
(2)由题意可知:解:(1)由题意可知:f(x+1)>2f(x),即-(x+1)2+a(x+1)>2(-x2+ax)对一切[3,+∞)恒成立,
整理得:(x-1)a<x2-2x-1,
∵x≥3,
∴a<==x-1-
令x-1=t,则t∈[2,+∞),g(t)=t-在[2,+∞)上单调递增,
∴g(t)min=g(2)=1,
∴a<1.
(3)问题(Ⅰ)∵x∈[0,1)时,f(x)=2x
∴当x∈[1,2)时,f(x)=mf(x-1)=m•2x-1,…
当x∈[n,n+1)时,f(x)=mf(x-1)=m2f(x-2)=…=mnf(x-n)=mn•2x-n
即x∈[n,n+1)时,f(x)=mn•2x-n,n∈N*
∵f(x)在[0,+∞)上单调递增,
∴m>0且mn•2n-n≥mn-1•2n-(n-1),
即m≥2.
问题(Ⅱ)∵当x∈[0,4]时,y∈[-4,0],且有f(x+4)=mf(x),
∴当x∈[4n,4n+4],n∈Z时,f(x)=mf(x-4)=…=mnf(x-4n)=mn[(x-4n)2-4(x-4n)],
当0<m≤1时,f(x)∈[-4,0];
当-1<m<0时,f(x)∈[-4,-4m];
当m=-1时,f(x)∈[-4,4];
当m>1时,f(x)∈(-∞,0];
当m<-1时,f(x)∈(-∞,+∞);
综上可知:-1≤m<0或0<m≤1.
点评:本题考查周期函数,着重考查函数在一定条件下的恒成立问题,综合考察构造函数、分析转化、分类讨论的数学思想与方法,难度大,思维深刻,属于难题.
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