Question

【题目】设椭圆的上顶点为A，右顶点为B.已知（O为原点）.

（1）求椭圆的离心率；

（2）设点，直线与椭圆交于两个不同点M，N，直线AM与x轴交于点E，直线AN与x轴交于点F，若.求证：直线l经过定点.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）由知，根据，即可求出离心率（2）由结合（1）可求出椭圆方程，设，，得出点坐标，联立与椭圆方程，根据韦达定理可得，，利用化简可求m，可求出直线所过定点.

（1）设椭圆的半焦距为c，由已知有，

又由，

消去b得，

解得.

所以，椭圆的离心率为；

（2）由点知，又

所以

所以椭圆的方程为，

设，，

则直线AM的方程为，

令，得点E的横坐标，

所以点，

同理，点，

由得，

则，，

所以

.

所以.

解得，此时，

所以直线l经过定点.