Question

【题目】如图，椭圆的左右焦点、恰好是等轴双曲线的左右顶点，且椭圆的离心率为，是双曲线上异于顶点的任意一点，直线和与椭圆的交点分别记为、和、．

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线、的斜率分别为、，求证：为定值；

（3）若存在点满足，试求的大小．

Answer 1

【答案】（1）；（2）定值为，见解析；（3）.

【解析】

（1）设椭圆的焦距为，由题意得出，由椭圆的离心率可计算出，进而求出的值，由此可得出椭圆的方程；

（2）设点，可得出，再结合斜率公式可计算出的值；

（3）设直线的方程为，可得出直线的方程为，将直线的方程与椭圆的方程联立，利用韦达定理和弦长公式计算出，同理得出，利用平面向量数量积的定义得出，计算出，即可得出的大小.

（1）设椭圆的焦距为，由题意知，，，

又离心率，，故，则椭圆的方程为；

（2）设，则，可得，

由此（定值）；

（3）由（2）知，设直线的方程为，则直线方程为，

联立消去，得：，

记，，则，，

，同理，

.

由题意：，

故，.