Question

【题目】如图，在四棱锥中，为棱中点，底面是边长为2的正方形，为正三角形，平面与棱交于点，平面与平面交于直线，且平面平面.

（1）求证：；

（2）求四棱锥的表面积.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

(1)根据直线与平面平行的判定定理得面,根据直线与平面平行的性质定理得,同理,再根据平行公理4可证,

(2)利用三角形的面积公式和直角梯形的面积公式计算五个面的面积再相加即可得到答案.

解：（1）如图所示:

∵为正方形，∴，

∵面，面，∴面.

∵为中点，平面与棱交于点，∴面面，

∴.

同理，∴.

（2）由（1）知，

又∵，∴，

又∵为中点，∴为中点，且，

又∵正三角形，且边长为2，∴，，，

∴.

∵为正方形，∴，

又∵面面，面面，

∴面，

又∵面，∴.

又∵，∴为直角梯形，

∴.

∵面，面，∴.

∴.

同理，

∴，

∵，∴，

同理，

又∵，∴，

又∵为中点，∴.

∴四棱锥的表面积.