【题目】已知直线:
,
:
,动点
分别在直线
,
上移动,
,
是线段
的中点.
(1)求点的轨迹
的方程;
(2)设不经过坐标原点且斜率为
的直线
交轨迹
于点
,点
满足
,若点
在轨迹
上,求四边形
的面积.
【答案】(I). (II)见解析.
【解析】试题分析:(1)根据条件设,
,
,即
. 设
,由中点坐标公式
消去参数m,n得
.
(2)设直线的方程为
,
,
,
.将
代入
,整理得
.则
,
. 因为
,可得R(
,
. 由
在椭圆上,有
,化简得
. 从而整理可得
. 可求得四边形
的面积.
试题解析:(1)根据条件可设,
,由
,得:
.
设,则
得
将①和②代入中并化简得:
.
所以点的轨迹
的方程为
.
(2)设直线的方程为
,
,
,
.
将代入
,整理得
.
则 ,
.
.
因为,则有:
,
.
因为在椭圆上,
,
化简得: .
所以,
,
因为
.
又点到
的距离为
.
由,可知四边形
为平行四边形,
.
拓展: 此题结论可推广到更一般情形:
第(Ⅰ))题中, 直线、
只要不垂直,轨迹均为椭圆,
、
垂直时,轨迹为圆;
第(Ⅱ)题中结论可推广到更一般情形:
设不经过坐标原点且斜率为
的直线
交椭圆:
于点
、
,点
满足
. 若点
在椭圆上,则四边形OPRQ(或
)的面积为定值。
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【题目】已知函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),对任意的x∈R,恒有f′(x)≤f(x).
(1)证明:当x≥0时,f(x)≤(x+c)2;
(2)若对满足题设条件的任意b,c,不等式f(c)-f(b)≤M(c2-b2)恒成立,求M的最小值.
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【题目】设全集U=R,集合A={x|1≤x<4},B={x|2a≤x<3-a}.
(1)若a=-2,求B∩A,B∩(UA);(2)若A∪B=A,求实数a的取值范围.
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【题目】设f(x)="xln" x–ax2+(2a–1)x,aR.
(Ⅰ)令g(x)=f'(x),求g(x)的单调区间;
(Ⅱ)已知f(x)在x=1处取得极大值.求实数a的取值范围.
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【题目】《中国诗词大会》(第二季)亮点颇多,十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词,在声光舞美的配合下,百人团齐声朗诵,别有韵味.若《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后六场,且《将进酒》排在《望岳》的前面,《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后,则后六场的排法有( )
A. 种 B.
种 C.
种 D.
种
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【题目】已知函数的图象与
轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为
,且图象过点
(1)求的解析式;
(2)求函数的单调递增区间;
(3)将函数的图象向右平移
个单位,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数
的图象,若关于
的方程
,在区间
上有且只有一个实数解,求实数
的取值范围.
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【题目】红队队员甲、乙、丙与蓝队队员,
,
进行围棋比赛,甲对
,乙对
,丙对
各一盘.已知甲胜
、乙胜
、丙胜
的概率分别为0.6,0.5,0.5,假设各盘比赛结果相互独立,则红队至少两名队员获胜的概率是____________.
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【题目】已知圆经过
两点,且圆心
在直线
上.
(1)求圆的方程;
(2)已知过点的直线
与圆
相交截得的弦长为
,求直线
的方程;
(3)已知点,在平面内是否存在异于点
的定点
,对于圆
上的任意动点
,都有
为定值?若存在求出定点
的坐标,若不存在说明理由.
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