【题目】已知在正整数n的各位数字中,共含有个1,
个2,,
个n.证明:
并确定使等号成立的条件.
【答案】见解析
【解析】
对正整数n的位数使用数学归纳法.
当是一位数,即
时,所证式显然成立,
这是因为,此时的十进制表达式中只有一位数字
,
即,其余
,所以,左边=
=右边.
假设当正整数不超过k位,即
时,结论皆成立.
现考虑为
位数,即
时的情形.
设的首位数字为r.则
. ①
若,则在数
的各位数字中,
,其余
.
显然,.
若,记
的各位数字中含有
个1,
个2,…,
个r,…,
个9.
则的各位数字中,含有
个r、
个j
.
注意到,正整数不超过k位.
由归纳法假设,对有
②
则当为
位数时,结论也成立.
故由数学归纳法,知对一切正整数,结论皆成立.
欲使等号成立,由证明过程,知要么为一位数;要么在
的位数大于或等于2时,由式②,必须
,此时,由式①得
,
即可表示为
的形式.
上述条件也是充分的,当能够表成以上形式时,有
,其余
.
故
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【题目】已知椭圆C:的左、右顶点分别为A,B,离心率为
,点P(1,
)为椭圆上一点.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)如图,过点C(0,1)且斜率大于1的直线l与椭圆交于M,N两点,记直线AM的斜率为k1,直线BN的斜率为k2,若k1=2k2,求直线l斜率的值.
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【题目】已知函数,(
,
,
)的部分图像如图所示.
(1)求函数的解析式及
图像的对称轴方程;
(2)把函数图像上点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移
个单位,得到函数
的图象,求关于x的方程
在
时所有的实数根之和.
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【题目】已知直线l:4x+3y+10=0,半径为2的圆C与l相切,圆心C在x轴上且在直线l的右上方.
(1)求圆C的方程;
(2)过点M(1,0)的直线与圆C交于A,B两点(A在x轴上方),问在x轴正半轴上是否存在定点N,使得x轴平分∠ANB?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】[选修4—4:坐标系与参数方程]
在直角坐标系中,已知曲线的参数方程为
为参数
以原点为极点x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线
的极坐标方程为:
,直线
的极坐标方程为
.
(Ⅰ)写出曲线的极坐标方程,并指出它是何种曲线;
(Ⅱ)设与曲线
交于
两点,
与曲线
交于
两点,求四边形
面积的取值范围.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆C上一点,且PF2垂直于x轴,连结PF1并延长交椭圆于另一点Q,设
=λ
.
(1)若点P的坐标为(2,3),求椭圆C的方程及λ的值;
(2)若4≤λ≤5,求椭圆C的离心率的取值范围.
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