【题目】已知函数,
.
(Ⅰ)若,求函数
的单调区间;
(Ⅱ)若在
上恒成立,求正数
的取值范围;
(Ⅲ)证明:.
【答案】(I)单调递增区间为,单调递减区间为
;(II)
;(III)详见解析.
【解析】
(Ⅰ)求出导函数,解不等式和
可得单调递增、递减区间;(Ⅱ)采用参数讨论的方法求出函数
在区间
上的最小值,通过逐步排除可得正数
的取值范围;(Ⅲ)根据(Ⅱ)中的结论,当
时有
,然后令
,代入整理得
,相加后可得所证不等式.
(Ⅰ)当时,
,
所以,
则当时,
,则
单调递增;
当时,
,则
单调递减;
所以单调递增区间为
,
单调递减区间为
.
(Ⅱ)因为,
,则
,
.
①当 ,时,有
,
故当,则
,
在
上是减函数,
所以当时,
,与
在
恒成立矛盾。
②当时,
,此时
在
上成立,
所以在
上是增函数,
所以,
即在
上恒成立.
综上所述,所求的取值范围为
.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知当时,
在
上恒成立,
即,
当时,则有
,
所以当时,
.
令,则有
,
即,
,
将上述个不等式依次相加得:
,
整理得.
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【题目】如图,F1、F2为双曲线C:的左、右焦点,动点P(x0,y0)(y0≥1)在双曲线C的右支上.设∠F1PF2的平分线与x轴、y轴分别交于点M(m,0)、N.
(1)求m的取值范围;
(2)设过点F1、N的直线l与双曲线C交于D、E两点,求△F2DE面积的最大值.
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【题目】已知直线:
,
:
,和两点
(0,1),
(-1,0),给出如下结论:
①不论为何值时,
与
都互相垂直;
②当变化时,
与
分别经过定点A(0,1)和B(-1,0);
③不论为何值时,
与
都关于直线
对称;
④如果与
交于点
,则
的最大值是1;
其中,所有正确的结论的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4.
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【题目】《九章算术》中盈不足章中有这样一则故事:“今有良马与驽马发长安,至齐. 齐去长安三千里. 良马初日行一百九十三里,日增一十二里;驽马初日行九十七里,日减二里.” 为了计算每天良马和驽马所走的路程之和,设计框图如下图. 若输出的 的值为 350,则判断框中可填( )
A. B.
C. D.
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【题目】经调查,3个成年人中就有一个高血压,那么什么是高血压?血压多少是正常的?经国际卫生组织对大量不同年龄的人群进行血压调查,得出随年龄变化,收缩压的正常值变化情况如下表:
年龄x | 28 | 32 | 38 | 42 | 48 | 52 | 58 | 62 |
收缩压 | 114 | 118 | 122 | 127 | 129 | 135 | 140 | 147 |
其中:,
,
请画出上表数据的散点图;
请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程
;
的值精确到
若规定,一个人的收缩压为标准值的
倍,则为血压正常人群;收缩压为标准值的
倍,则为轻度高血压人群;收缩压为标准值的
倍,则为中度高血压人群;收缩压为标准值的
倍及以上,则为高度高血压人群
一位收缩压为180mmHg的70岁的老人,属于哪类人群?
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【题目】已知三点A(a,0),B(0,b),C(2,2),其中a>0,b>0.
(1)若O是坐标原点,且四边形OACB是平行四边形,试求a,b的值.
(2)若A,B,C三点共线,试求a+b的最小值.
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【题目】已知圆.
(1)若圆的切线在
轴、
轴上的截距相等,求切线方程;
(2)从圆外一点
向该圆引一条切线,切点为
,且有
(
为坐标原点),求使
取得最小值时点
的坐标.
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