【题目】已知圆.
(1)若圆的切线在轴、轴上的截距相等,求切线方程;
(2)从圆外一点向该圆引一条切线,切点为,且有(为坐标原点),求使取得最小值时点的坐标.
【答案】(1)或或或;(2).
【解析】
(1)分两种情况讨论:①直线过原点,设所求切线方程为;②直线在轴、轴上的截距均为,设所求切线方程为.利用圆心到直线的距离等于半径列等式,求出相应的参数,即可得出所求切线的方程;
(2)先由求得点的轨迹方程为,由此可得出当与直线垂直时,最短,求出直线的方程,求出该直线与直线的交点,即为所求的点.
(1)①设圆的切线在轴、轴上的截距均为,则切线过原点,设所求切线方程为,即.
则圆心到切线的距离为,解得:或.
此时,所求切线的方程为或;
②若截距均不为,设所求切线方程为,
则圆心到切线的距离为,解得,
此时,所求切线方程为或.
综上所述,所求切线方程为或或或;
(2)由题意可知,,则,
由得,化简得.
所以,点的轨迹方程为,
要使最小,即最小,过作直线的垂线,垂线方程为,
联立,解得,因此,所求的点的坐标为.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆C上一点,且PF2垂直于x轴,连结PF1并延长交椭圆于另一点Q,设=λ.
(1)若点P的坐标为(2,3),求椭圆C的方程及λ的值;
(2)若4≤λ≤5,求椭圆C的离心率的取值范围.
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【题目】以下三个关于圆锥曲线的命题中:
①设为两个定点,为非零常数,若,则动点的轨迹是双曲线;
②方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;
③双曲线与椭圆有相同的焦点;
④已知抛物线,以过焦点的一条弦为直径作圆,则此圆与准线相切,其中真命题为__________.(写出所有真命题的序号)
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【题目】已知动点满足: .
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)设过点的直线与曲线交于两点,点关于轴的对称点为(点与点不重合),证明:直线恒过定点,并求该定点的坐标.
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【题目】对于函数f(x),若存在区间M=[a,b](a<b)使得{y|y=f(x),x∈M}=M,则称区间M为函数f(x)的一个“稳定区间,给出下列四个函数:
①f(x),②f(x)=x3,③f(x)=cosx,④f(x)=tanx
其中存在“稳定区间”的函数有( )
A.①②③B.②③C.③④D.①④
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【题目】过点的直线与中心在原点,焦点在轴上且离心率为的椭圆相交于、两点,直线过线段的中点,同时椭圆上存在一点与右焦点关于直线对称.
(1)求直线的方程;
(2)求椭圆的方程.
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【题目】已知数列{an}满足an=logn+1(n+2)(n∈N*)定义使a1a2…ak为整数的数k叫做企盼数,则区间[1,2019]内所有的企盼数的和是______.
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【题目】考虑某长方体的三个两两相邻的面上的三条对角线及体对角线(共四条线段),则正确的命题是( )
A. 必有某三条线段不能组成一个三角形的三边
B. 任何三条线段都可组成三角形,其每个内角都是锐角
C. 任何三条线段都可组成三角形,其中必有一个是钝角三角形
D. 任何三条线段都可组成三角形,其形状是“锐角的”或是“非锐角的”,随长方体的长、宽、高而变化,不能确定
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