Question

已知椭圆

x2

4

+

y2

3

=1．
（1）过椭圆右焦点作垂直于x轴的直线AB，交椭圆于A，B两点，F₁是椭圆的左焦点，求三角形AF₁B的周长；
（2）已知点P是椭圆

x2

4

+

y2

3

=1上一点，且以点P及焦点F₁、F₂为顶点的三角形的面积等于1，求点P坐标．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：综合题

分析：（1）根据椭圆的定义可得：|AF₁|+|AF₂|=2a，|BF₁|+|BF₂|=2a，并且|AF₂|+|BF₂|=|AB|，进而得到答案；
（2）根据已知中，点P是椭圆

x2

4

+

y2

3

=1上的一点，以点P以及焦点F₁，F₂为顶点的三角形的面积等于1，根据该三角形的底边|F₁F₂|=2，我们易求出P点的横坐标，进而求出P点的纵坐标，即可得到答案．

解答： 解：（1）根据题意结合椭圆的定义可得：|AF₁|+|AF₂|=2a=4，并且|BF₁|+|BF₂|=2a=，4，
又因为|AF₂|+|BF₂|=|AB|，
所以△AF₁B的周长为：|AF₁|+|BF₁|+|AB|=|AF₁|+|AF₂|+|BF₁|+|BF₂|=8；
（2）因为是椭圆的标准方程为

x2

4

+

y2

3

=1，故|F₁F₂|=2
设P点坐标为（x，y）
∵P是椭圆

x2

4

+

y2

3

=1上的一点，由以点P以及焦点F₁，F₂为顶点的三角形的面积等于1，
则y=±1，x=±

2 6

3

．
故点P的坐标为(±

2 6

3

，±1)．

点评：本题主要考查了椭圆的定义的应用，其中判断出以点P以及焦点F₁，F₂为顶点的三角形的底边|F₁F₂|=2，是解答本题的关键．