Question

若直线l：y=kx+

2

与双曲线

x2

3

-y²=1恒有两个不同的交点A和B，且

OA

•

OB

＞2（其中O为原点），求k的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：联立直线和双曲线方程，转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系即可求出k的取值范围．

解答： 解：由将y=kx+

2

代入双曲线

x2

3

-y²=1消去y得（1-3k²）x²-6

2

kx-9=0．
由直线l与双曲线交于不同的两点得

1-3k2≠0 △=(-6 2 k)2+36(1-3k2)=36(1-k2)＞0

即k²≠

1

3

且k²＜1．①
设A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），则  x_A+x_B=

6 2 k

1-3k2

，x_Ax_B=

-9

1-3k2

．
由

OA

•

OB

＞2，得x_Ax_B+y_Ay_B＞2，
即x_Ax_B+y_Ay_B=x_Ax_B+（kx_A+

2

)（kx_B+

2

）=（k²+1）x_Ax_B+

2

k（x_A+x_B）+2=）=（k²+1）•

-9

1-3k2

+

2

k（

6 2 k

1-3k2

）+2=

3k2+7

3k2-1

．
于是

3k2+7

3k2-1

＞2，即

-3k2+9

3k2-1

＞0，
解此不等式得

1

3

＜k²＜3．②
由①②得

1

3

＜k²＜1．
故k的取值范围为（-1，-

3

3

）∪（

3

3

，1）．

点评：本题主要考查直线和双曲线的位置关系，利用直线和双曲线联立转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系是解决本题的关键．