Question

如图，已知三棱锥O-ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点．

（1）求异面直线EB与AC所成角的余弦值；
（2）求点E到面ABC的距离．
（3）求二面角E-AB-C的平面角的正切值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,异面直线及其所成的角,二面角的平面角及求法

专题：计算题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）以O为原点，OB、OC、OA分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出

EB

=（2，-1，0），

AC

=（0，2，-1）
可得cos＜

EB

，

AC

＞=

-2

5 • 5

=-

2

5

；
（2）求出平面ABC的法向量

n

=（1，1，2），即可点E到面ABC的距离d=

| EC • n |

| n |

；
（3）求出平面EAB的法向量，利用向量的夹角公式，即可得出结论．

解答： 解：（1）以O为原点，OB、OC、OA分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．
则有A（0，0，1）、B（2，0，0）、C（0，2，0）、E（0，1，0）
∴

EB

=（2，-1，0），

AC

=（0，2，-1）
∴cos＜

EB

，

AC

＞=

-2

5 • 5

=-

2

5

，
∴异面直线BE与AC所成角的余弦为

2

5

；
（2）设平面ABC的法向量为

n

=（x，y，z），则
∵

AB

=（2，0，-1），

AC

=（0，2，-1），
∴

2x-z=0 2y-z=0

，
∴取

n

=（1，1，2）
又

EC

=（0，1，0），
∴点E到面ABC的距离d=

| EC • n |

| n |

=

6

6

；
（3）（2）中已求平面ABC的法向量

n

=（1，1，2），
设平面EAB的法向量为

m

=（a，b，c），则
∵

AE

=（0，1，-1），

AB

=（2，0，-1），
∴

y-z=0 2x-z=0

∴取

m

=（1，2，2），
∴cos＜

n

，

m

＞=

7 6

18

设二面角E-AB-C的平面角为θ，则tanθ=

5

7

．

点评：本题主要考察了空间中异面直线所成的角和平面与平面所成的角，属立体几何中的常考题型，较难．解题的关键是首先正确的建立空间直角坐标系然后可将异面直线所成的角转化为所对应的向量的夹角或其补角．