Question

已知曲线C的极坐标为ρ=2asinθ（a＜0），以极点为直角坐标原点，极轴为x轴正向建立平面直角坐标系．
（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）直线l的参数方程为

x= 1 2 t y=1+ 3 2 t

（t为参数），若直线l与曲线C相交于A，B两点，当AB=2时，求实数a的值．

Answer 1

考点：点的极坐标和直角坐标的互化,参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）根据x=ρcosθ、y=ρsinθ把曲线C的极坐标方程化为，直角坐标方程，表示以C（0，a）为圆心、半径等于-a的圆．
（2）直线l即 y=

3

x+1，求得圆心到直线的距离d=

|-a+1|

2

，当AB=2时，由（-a）²=(

AB

2

)2+d² 求得a的值．

解答： 解：（1）曲线C的极坐标为ρ=2asinθ（a＜0），即 ρ²=2aρsinθ，
化为直角坐标为 x²+（y-a）²=a²，表示以C（0，a）为圆心、半径等于-a的圆．
（2）直线l的参数方程为

x= 1 2 t y=1+ 3 2 t

（t为参数），即 y=

3

x+1，圆心到直线的距离d=

|-a+1|

2

，
当AB=2时，由（-a）²=(

AB

2

)2+d² 求得a=-

5

3

，或 a=1（舍去）．
∴a=-

5

3

．

点评：本题主要考查把极坐标方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于中档题．