Question

已知平行四边形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，E是线段AD的中点．沿直线BD将△BCD翻折成△BC′D，使得平面BC′D⊥平面ABD．
（Ⅰ）求证：C′D⊥平面ABD；
（Ⅱ）求直线BD与平面BEC′所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角D-BE-C′的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面垂直的判定,直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）根据线面垂直的判定定理即可证明C′D⊥平面ABD；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量法即可求直线BD与平面BEC′所成角的正弦值；
（Ⅲ）求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角D-BE-C′的余弦值．

解答： 证明：（Ⅰ）平行四边形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，
沿直线BD将△BCD翻折成△BC′D
可知CD=6，BC’=BC=10，BD=8，
即C′B²=C′D²+BD²，
∴C′D⊥BD，
∵平面BC′D⊥平面ABD，平面BC′D∩平面ABD=BD，C′D?平面BC′D，
∴C′D⊥平面ABD．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知C′D⊥平面ABD，且CD⊥BD，
如图，以D为原点，
建立空间直角坐标系D-xyz．
则D（0，0，0），A（8，6，0），B（8，0，0），C（0，0，6）．
∵E是线段AD的中点，
∴E（4，3，0），

BD

=(-8，0，0)．
在平面BEC′中，

BE

=(-4，3，0)，

BC′

=(-8，0，6)，
设平面BEC′法向量为

n

=(x，y，z)，
∴

BE • n =0 BC′ • n =0

，即

-4x+3y=0 -8y+6z=0

，
令x=3，得y=4，z=4，故

n

=(3，4，4)，
设直线BD与平面BEC′所成角为θ，则sinθ=|cos＜

n

，

BD

＞|=

| n • BD |

| n |•| BD |

=

3 41

41

．
∴直线BD与平面BEC′所成角的正弦值为

3 41

41

．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面BEC′的法向量为

n

=（3，4，4），
而平面DBE的法向量为

DC′

=(0，0，6)，
∴cos＜

n

，

C′D

＞=

n • C′D

| n |•| C′D |

=

4 41

41

，
∵二面角D-BE-C′为锐角，
∴二面角D-BE-C′的余弦值为

4 41

41

．

点评：本题主要考查线面垂直的判断，以及直线和平面所成的角，二面角的大小，建立坐标系利用向量法是解决本题的关键．