Question

已知（5x+1）ⁿ（n≤10，n∈N^*）的展开式中，第2，3，4项的系数成等差数列．
（1）求（5x+1）ⁿ展开式中二项式系数最大的项；    
（2）求（5x+1）ⁿ展开式中系数最大的项．

Answer 1

考点：二项式定理的应用,二项式系数的性质

专题：计算题,二项式定理

分析：（1）由第2，3，4项的系数成等差数列，可得关于n的方程，求出n．而二项式系数最大的项为中间项，n为奇数时，中间两项二项式系数相等；n为偶数时，中间只有一项．
（2）设T_r+1项的系数最大，则

C r 7 •57-r≥ C r+1 7 •56-r C r 7 •57-r≥ C r-1 7 •58-r

，求出r，即可得出结论．

解答： 解：（1）∵第2，3，4项的系数成等差数列，
∴C_n¹•5^n-1+C_n³•5^n-3=2C_n²•5^n-2，
∴n²-33n+182=0，
∴n=7或n=26（舍去）．
当n=7时，展开式中二项式系数最大的项是T₄和T₅，
∴T₄=C₇³（5x）⁴=21875x⁴，T₅=C₇⁴（5x）³=4375x³．
（2）设T_r+1项的系数最大，则

C r 7 •57-r≥ C r+1 7 •56-r C r 7 •57-r≥ C r-1 7 •58-r

∴

1

3

≤r≤

4

3

，∴r=1，
∴展开式中系数最大的项为T₂．
T₂=C₇¹（5x）⁶=109375x⁶．

点评：本题考查二项展开式中二项式系数和与系数和问题，难度较大，易出错．要正确区分这两个概念．