Question

已知向量：

a

=（2cos（x-

π

6

），2sin（x-

π

4

）），

b

=（cos（x-

π

6

），sin（x+

π

4

）），（x∈R），函数f（x）=

a

•

b

-1．
（1）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；
（2）求函数f（x）在区间[-

π

12

，

π

2

]上的值域．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,三角函数的周期性及其求法,正弦函数的对称性

专题：三角函数的求值

分析：（1）由数量积和三角函数的运算化简可得f（x）=sin(2x-

π

6

)，易得周期和对称轴方程；（2）由x∈[-

π

12

，

π

2

]可得2x-

π

6

∈[-

π

3

，

5π

6

]，由三角函数的单调性可得值域．

解答： 解：（1）∵

a

=（2cos（x-

π

6

），2sin（x-

π

4

）），

b

=（cos（x-

π

6

），sin（x+

π

4

）），
∴f（x）=

a

•

b

-1=2cos²（x-

π

6

）+2sin（x-

π

4

）sin（x+

π

4

）-1
=2cos²（x-

π

6

）-1-2sin（

π

4

-x）cos（

π

4

-x）
=cos（2x-

π

3

）-sin（

π

2

-2x）
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x-cos2x
=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=sin(2x-

π

6

)
∴周期T=

2π

2

=π
由2x-

π

6

=kπ+

π

2

（k∈Z），得x=

kπ

2

+

π

3

（k∈Z）．
∴函数图象的对称轴方程为x=

kπ

2

+

π

3

（k∈Z）
（2）∵x∈[-

π

12

，

π

2

]，∴2x-

π

6

∈[-

π

3

，

5π

6

]．
∵f（x）=sin(2x-

π

6

)在区间[-

π

12

，

π

3

]上单调递增，在区间[

π

3

，

π

2

]上单调递减，
∴当x=

π

3

时，f（x）取得最大值1，又∵f(-

π

12

)=-

3

2

＜f(

π

2

)=

1

2

，
∴当x=-

π

12

时，f（x）取得最小值-

3

2

．
∴函数f（x）在[-

π

12

，

π

2

]上的值域为[-

3

2

，1]

点评：本题考查两角和与差的正弦函数公式，涉及向量的运算和三角函数的值域，属中档题．