Question

设f（x）=a（lnx）²-lnx-2．
（1）若f（e）=-2，求x的值；
（2）若x∈[

e

，e]时f（x）＜0，求a的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由f（e）=-2，求得a=1，可得f（x）的解析式．由f（x）=0求得x的值．
（2）根据 x∈[

e

，e]时，f（x）＜0，可得a＜

lnx+2

(lnx)2

=2(

1

lnx

)2+

1

lnx

．设t=

1

lnx

，则a＜2t²+t，t∈[1，2]．再利用关于t的二次函数2t²+t在t∈[1，2]上单调性，求得2t²+t的最小值，从而求得a的范围．

解答： 解：（1）∵f（e）=-2，∴a（lne）²-lne-2=-2，即a=1，
∴f（x）=（lnx）²-lnx-2．
由f（x）=（lnx）²-lnx-2=0 得（lnx-2）（lnx+1）=0，
即lnx=2，或lnx=-1，即x=e²，或x=e^-1．
（2）∵x∈[

e

，e]时，f（x）＜0，
∴x∈[

e

，e]时，有a（lnx）²-lnx-2＜0，即a＜

lnx+2

(lnx)2

=2(

1

lnx

)2+

1

lnx

．
设t=

1

lnx

，则a＜2t²+t．由x∈[

e

，e]得t∈[1，2]．
因为关于t的二次函数2t²+t在t∈[1，2]上单调递增，
∴2t²+t的最小值在t=1处取得，
这个最小值为3，∴a＜3．

点评：本题主要考查对数函数的图象和性质综合应用，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．