Question

已知数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=2a_n-n+1，（n∈N^*），
（1）求证数列{a_n-n}为等比数列．
（2）判断265是否是数列{a_n}中的项，若是，指出是第几项，并求出该项以前所有项的和（不含265），若不是，说明理由．

Answer 1

考点：数列递推式,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据等比数列的定义即可证明数列{a_n-n}为等比数列．
（2）求出数列的通项公式，根据通项公式进行判断．

解答： 证明：（1）由a_n+1=2a_n-n+1知
a_n+1-（n+1）=2（a_n-n），
即

an+1-(n+1)

an-n

=2，
即{a_n-n}是以1为首项，以2为公比的等比数列．
（2）由（1）知a_n-n=2^n-1，
即a_n=2^n-1+n，
265是数列{a_n}中的第9项．
（原因是 {a_n}是递增数列，265是奇数，它只能为{a_n}中的奇数项，）
又∵256＜265＜512，
∴猜想是第9 项，经验证符合猜想，不写原因不扣分）
∴S₈=（1+2+…+8）+（2⁰+2+…+2⁷）=291．

点评：本题主要考查等比数列的证明，以及数列项的判断，根据数列的递推关系是解决本题的关键．