Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n+1=kS_n+2（n∈N^*），且a₁=2，a₂=1．
（1）求k的值；
（2）求证{S_n-4}为等比数列；
（3）是否存在正整数m，n，使得

Sn-m

Sn+1-m

＜

1

2

成立？若存在，求出这样的正整数；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由S₂=kS₁+2，得a₁+a₂=ka₁+2，代入数值可求k；．
（2）由 （1）知知Sn+1=

1

2

Sn+2，Sn=

1

2

Sn-1+2，两式相减可得递推式，由递推式可判断该数列为等比数列，从而可求S_n．
（3）表示出不等式，可化为2＜2ⁿ（4-m）＜6，假设存在正整数m，n使得上面的不等式成立，则只能是2ⁿ（4-m）=4，从而可得m，n的方程组，解出即可作出判断．

解答： （1）解：由条件S_n+1=kS_n+2（n∈N^*），
得S₂=kS₁+2，即a₁+a₂=ka₁+2，
∵a₁=2，a₂=1，∴2+1=2k+2，解得k=

1

2

．…（4分）
（2）证明：由（1）知Sn+1=

1

2

Sn+2，①
Sn=

1

2

Sn-1+2，②
①-②得an+1=

1

2

an，（n≥2）
又a2=

1

2

a1，a_n≠0，n∈N^*，
∴

an+1

an

=

1

2

，（n∈N^*），
∴{a_n}是等比数列，公比为

1

2

，首项为2，
∴Sn=

2[1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=4（1-

1

2n

）=4-2^2-n，
∴S_n-4=-2^2-n．
∴数列{S_n-4}是首项为-2，公比为

1

2

的等比数列．…（8分）
（3）解：由不等式

Sn-m

Sn+1-m

＜

1

2

，
即

4(1- 1 2n )-m

4(1- 1 2n+1 )-m

＜

1

2

，
整理，得

4-m- 6 2n

4-m- 2 2n

＜0，
∴

2

2n

＜4-m＜

6

2n

，
即2＜2ⁿ（4-m）＜6．…（10分）
假设存在正整数m，n，使得上面的不等式成立，由于2ⁿ为偶数，4-m为整数，
则只能是2ⁿ（4-m）=4，
∴

2n=2 4-m=2

，或

2n=4 4-m=1

，
解得n=1，m=2，或n=2．m=3，
于是，存在正整数m=2，n=1或m=3，n=2，
使得使得

Sn-m

Sn+1-m

＜

1

2

成立．…（13分）

点评：本题考查数列求和、数列与不等式的综合，考查学生解决问题的能力，本题运算量较大，解题时要认真审题，仔细解答．