Question

现有数列{a_n}满足：a₁=1，且对任意的m，n∈N^*都有：a_m+n=a_m+a_n+mn，则

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

a2014

=
（　　）

• A、

  2014

  2015

• B、

  2012

  1007

• C、

  2013

  2014

• D、

  4028

  2015

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：令m=1，得a_n+1-a_n=1+n，由此利用累加法求出a_n=

n(n+1)

2

．从而得到

1

an

=2（

1

n

-

1

n+1

），由此利用裂项求和法能求出

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

a2014

．

解答： 解：∵数列{a_n}满足：a₁=1，
且对任意的m，n∈N^*都有：a_m+n=a_m+a_n+mn，
∴令m=1，得a_n+1=a_n+a₁+n，
∴a_n+1-a_n=1+n，
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+…+（a_n-a_n-1）=1+2+…+n=

n(n+1)

2

．
∴

1

an

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），
∴

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

a2014

=2（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2014

-

1

2015

）=2（1-

1

2015

）=

4028

2015

．
故选：D．

点评：本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．