Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A⊥底面ABC，∠ACB=90°，AA₁=AC=BC=2，D为AB中点．
（Ⅰ）求证：AB₁⊥A₁C；
（Ⅱ）求证：BC₁∥平面A₁CD；
（Ⅲ）求直线AA₁与平面A₁CD所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,直线与平面所成的角

专题：计算题,证明题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由线面垂直的判定和性质，即可得证；（Ⅱ）连接A₁C，交A₁C于O点，由中位线定理得到DO∥BC₁，再由线面平行的判定定理即可得证；（Ⅲ）过A作AH⊥A₁D交A₁D于H，通过线面垂直的判定和性质，和面面垂直的判定和性质即可得到AH⊥平面A₁CD，故∠AA₁D为直线AA₁与平面A₁CD所成的角，在△AA₁D中，求出sin∠AA₁D即可．

解答： （Ⅰ）证明：∵在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
A₁A⊥平面ABC，∠ACB=90°，
∴B₁C₁⊥平面A₁ACC₁，
又∵A₁C?平面A₁ACC₁，
∴A₁C⊥B₁C₁，
连接AC₁，有AC₁⊥A₁C，
∴A₁C⊥平面AB₁C₁，
∴AB₁⊥A₁C；
（Ⅱ）证明：连接A₁C，交A₁C于O点，
则DO为△ABC₁的中位线，
∴DO∥BC₁，
又DO?平面A₁CD，BC₁?平面A₁CD，
∴BC₁∥平面A₁CD；
（Ⅲ）解：过A作AH⊥A₁D交A₁D于H，
∵AC=BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB，
∵A₁A⊥平面ABC，∴A₁A⊥CD，又A₁A∩AB=A，
∴CD⊥平面A₁AD，
∴平面A₁AD⊥平面A₁CD，
∴AH⊥平面A₁CD，∴∠AA₁D为直线AA₁与平面A₁CD所成的角，
∴在△AA₁D中，AA₁=2，AD=

2

，∴A₁D=

6

，∴sin∠AA₁D=

3

3

，
故直线AA₁与平面A₁CD所成的角的正弦为

3

3

．

点评：本题主要考查空间直线与平面的位置关系，考查线面平行的判定，线面垂直的判定和性质，面面垂直的判定和性质，以及直线与平面所成的角的求法，熟记这些概念和判定和性质是迅速解题的关键．