Question

设F₁，F₂为椭圆

x2

36

+

y2

16

=1的两个焦点，P是椭圆上一点，已知P，F₁，F₂是一个直角三角形的三个顶点，且|

PF1

|＞|

PF2

|．
（1）求|PF₁|的长度；
（2）求

|PF1|

|PF2|

的值．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质,直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）对△PF₁F₂的内角分类讨论，再利用椭圆的定义和勾股定理即可求出|PF₁|的长度．
（2）利用（1）的结论和椭圆的定义即可得出．

解答： 解：由椭圆

x2

36

+

y2

16

=1，可得c=

a2-b2

=

36-16

=2

5

．
（1）∵|

PF1

|＞|

PF2

|，∴∠PF₁F₂不可能是直角．
若∠PF₂F₁是直角，则|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2，
即|PF1|2=(12-|PF1|)2+80，解得|PF₁|=

28

3

，
若∠F₁PF₂是直角，则|PF1|2+(12-|PF1|)2=80，
即2|PF1|2-24|PF1|+64=0，解得|PF₁|=8，
∴|PF₁|的长度为

28

3

或8．
（2）若∠PF₂F₁是直角，由（1）可得|PF₁|=

28

3

，|PF₂|=2a-|PF₁|=12-

28

3

=

8

3

，
∴

|PF1|

|PF2|

=

7

2

．
若∠F₁PF₂是直角，由（1）可得得|PF₁|=8，|PF₂|=2a-|PF₁|=12-8=4，
∴

|PF1|

|PF2|

=2，
综上，

|PF1|

|PF2|

的值为2或

7

2

．

点评：本题考查椭圆的定义与标准方程、勾股定理等基础知识，考查分类讨论思想方法和计算能力，属于中档题．