Question

已知函数f（x）=x|x-2|
（1）画出该函数的图象；
（2）设a＞2，求f（x）在[0，a]上的最大值．

Answer 1

考点：函数的图象

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用零点分段法，将函数的解析式化为分段函数的形式，进而根据二次函数的图象，得到函数f（x）=x|x-2|的图象．
（2）根据（1）中函数图象，分析a与1+

2

的关系，进而分类讨论可得不同情况下函数的最值．

解答： 解：（1）∵f（x）=x|x-2|=

x2-2x，x≥2 -x2+2x，x＜2

，
∴函数的图象如下图所示：

（2）当a＞2时，令f（a）-f（1）=a²-2a-1=0，
解得a=1+

2

，或a=1-

2

（舍去），
当2＜a＜1+

2

时，f（a）＜f（1），
此时f（x）在[0，a]上的最大值f（x）_max=f（1）=1，
当a≥1+

2

时，f（a）≥f（1），
此时f（x）在[0，a]上的最大值f（x）_max=f（a）=a²-2a．%

点评：本题考查的知识点是函数的图象，函数的最值，其中熟练掌握零点分段法及分段函数图象的画法，是解答的关键．