Question

在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若csinC-asinA=b（sinB-sinA），c=2．
（Ⅰ）若△ABC的面积为

2 3

3

，求a，b的值；
（Ⅱ）设△ABC的周长为y，试求函数y=f（A）的定义域和最大值．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）利用正弦定理和已知等式，建立a和b的关系式，进而求得cosC的值，则C的值可得，利用三角形的面积求得ab的值，最后联立方程求得a和b．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的C的值和c的值，分别用角的正弦表示边，相加表示出三角形的周长，利用两角和公式整理后，利用三角函数的图象和性质求得函数的定义域即最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵csinC-asinA=b（sinB-sinA），
∴c²-a²=b²-ab，
∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

，①
∴C=

π

3

，
∴S_△ABC=

1

2

absinC=

3

4

ab=

2 3

3

，
∴ab=

8

3

，②
联立①②整理得9a⁴-60a²+64=0，
求得a=

2 3

3

，b=

4 3

3

或a=

4 3

3

，b=

2 3

3

．
（Ⅱ）

a

sinA

=

c

sinC

=

4 3

3

，
∴a=

4 3

3

•sinA，
同理b=

4 3

3

sinB，
∴y=

4 3

3

（sinA+sinB）+2
=

4 3

3

[sinA+sin（

2π

3

-A）]+2
=

4 3

3

（

3

2

cosA+

3

2

sinA）+2=4sin（A+

π

6

）+2，
0＜A+

π

6

＜

2π

3

，
∴0＜A＜

π

2

，即函数的定义域为（0，

π

2

），
当sin（A+

π

6

）=1，即A=

π

3

时，函数取最大值1，
∴y的最大值为4+2=6．

点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．解题的过程中还利用三角和公式进行三角形的恒等变换．