Question

如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，O是AC与BD的交点，SO⊥平面ABCD，E是侧棱SC的中点，直线SA和AO所成角的大小是45°．
（1）求证：直线SA∥平面BDE；
（2）求直线BD与平面SBC所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连接EO，由题设条件推导出EO是△ASC的中位线，由此能够证明直线SA∥平面BDE．
（2）过点O作CB的平行线作x轴，过O作AB的平行线作y轴，以OS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能够求出直线BD与平面SBC所成角的正弦值．

解答： 解：（1）连接OE，

∵四边形ABCD是正方形，
∴O是AC的中点．
又∵E是侧棱SC的中点，
∴OE∥SA．
又OE?平面BDE，SA?平面BDE，
∴直线SA∥平面BDE．…（4分）
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，

则D（0，-2

2

，0），B（0，2

2

，0），S（0，0，2

2

），C（-2

2

，0，0）．
∴

BD

=（0，-4

2

，0），

BC

=（-2

2

，-2

2

，0），

SB

=（0，2

2

，-2

2

）．
设平面SBC的法向量为n=（x，y，1），
则有

n• SB =0 n• BC =0

即

2 2 y-2 2 =0 -2 2 x-2 2 y=0

解得

y=1 x=-1

∴n=（-1，1，1）．…（9分）
直线BD与平面SBC所成的角记为θ，
则sin θ=|

n• BD

|n|| BD |

|=

4 2

3 ×4 2

=

3

3

．…（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理运用．