Question

已知f（x）=

( 3 2 )x，x≥0 2x，x＜0

，若对任意x∈[-1-m，m-1]，不等式f（

2

x-m）≥[f（x）]³恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数最值的应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：分段函数内都是指数函数，且底数都大于1，借助指数运算及单调性化简不等式，同时注意区间成立的条件从而求出实数m的取值范围．

解答： 解：有题设知，f(x)=

( 3 2 )x，x≥0 2x，x＜0

，则[f（x）]³=f（3x），
因此原不等式等价于f(

2

x-m)≥f(3x)，
又∵f（x）在R上是增函数，
∴

2

x-m≥3x，
即m≤(

2

-3)x，且x∈[-1-m，m-1]，
∴当x=m-1时，(

2

-3)x取得最小值（

2

-3）（m-1），
因此m≤（

2

-3）（m-1），
解得m≤

2- 2

2

，
又∵m-1＞-1-m，
∴m＞0，
故m∈(0，

2- 2

2

]．

点评：本题综合考查了学生对分段函数，指数函数，指数运算及不等式的处理能力．将题目条件转化为常见题型的能力．