Question

已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=

3

asinC+ccosA．
（1）求角A；
（2）若a=2

3

，△ABC的面积为

3

，求△ABC的周长．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，根据sinC不为0，得到关系式，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的三角函数值，利用特殊角的三角函数值求出A的度数即可；
（2）利用三角形面积公式列出关系式，将sinA，已知面积代入求出bc的值，再利用余弦定理列出关系式，将a，bc，cosA的值代入求出b+c的值，即可出三角形ABC周长．

解答： 解：（1）由c=

3

asinC+ccosA，利用正弦定理化简得：sinC=

3

sinAsinC+sinCcosA，
∵sinC≠0，
∴

3

sinA+cosA=1，即2sin（A+

π

6

）=1，
∴sin（A+

π

6

）=

1

2

，
又0＜A＜π，
∴

π

6

＜A+

π

6

＜

7π

6

，
则A+

π

6

=

5π

6

，即A=

2π

3

；
（2）∵△ABC的面积S=

1

2

bcsinA=

3

，sinA=

3

2

，
∴bc=4，
由余弦定理知a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²+bc，得a²+bc=（b+c）²，
代入a=2

3

，bc=4，
解得：b+c=4，
则△ABC周长为4+2

3

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．