Question

已知函数f（x）=x+

a

x

，（x＞0，a＞0）．
（1）当a=4时，求函数f（x）的最小值；
（2）若函数f（x）＞-x+4，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：基本不等式,函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：（1）a=4时，f（x）=x+

4

x

≥2

x• 4 x

=4，求出f（x）的最小值；
（2）由f（x）＞-x+4，得出a＞-2x²+4x；求出y=-2x²+4x的最大值，即得实数a的取值范围．

解答： 解：（1）当a=4时，f（x）=x+

4

x

，
∵x＞0，
∴f（x）=x+

4

x

≥2

x• 4 x

=4，
当且仅当x=2时“=”成立；
∴f（x）的最小值为4；
（2）∵f（x）＞-x+4，
即x+

a

x

＞-x+4；
又x＞0，
∴a＞-2x²+4x；
令y=-2x²+4x（x＞0），
∴y=-2（x-1）²+2，
当x=1时，y取得最大值2，
∴a＞2；
即实数a的取值范围是{a|a＞2}．

点评：本题考查了函数的性质及其应用问题，解题时应根据函数解析式的特点，利用基本不等式求函数的最值，利用配方法求函数的最值，是基础题．