Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AB=4，AD=2，PA=2，PD=2

2

，∠PAB=60°．
（1）证明AD⊥平面PAB；
（2）求异面直线PC与AD所成的角的大小；
（3）求二面角P-BD-A的平面角的正切值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,异面直线及其所成的角,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由勾股定理逆定理，结合题中的数据得到AD⊥PA，又AD⊥AB，PA、AB是平面PAB内的相交直线，所以AD⊥平面PAB；
（2）利用条件借助图形，利用异面直线所成角的定义找到共面的两条相交直线，然后结合解三角形有关知识解出即可；
（3）通过把二面角转化为其平面角PEH，然后在RT△PHE中，求出其正切值即可．

解答： （1）证明：在△PAD中，由题设PA=AD=2，PD=2

2

，可得PA²+AD²=PD²，于是AD⊥PA，
∵在矩形ABCD中，AD⊥AB，PA、AB是平面PAB内的相交直线，
∴AD⊥平面PAB；
（2）解：由题设，BC∥AD，
∴∠PCB（或其补角）是异面直线PC与AD所成的角．
在△PAB中，由余弦定理得PB=

4+16-2•2•4• 1 2

=2

3

由（1）知AD⊥平面PAB，PB?平面PAB，
∴AD⊥PB，因而BC⊥PB，于是△PBC是直角三角形，故tanPCB=

3

．
∴异面直线PC与AD所成的角的大小为60°．
（3）解：过点P做PH⊥AB于H，
过点H做HE⊥BD于E，连接PE
∵AD⊥平面PAB，PH?平面PAB，
∞AD⊥PH．
又AD∩AB=A，
因而PH⊥平面ABCD，故HE为PE在平面ABCD内的射影．
∴BD⊥PE，
从而∠PEH是二面角P-BD-A的平面角．
由题设可得，PH=PA•sin60°=

3

，AH=PA•cos60°=1，BH=AB-AH=3，
BD=2

5

，HE=

AD

BD

•BH=

3

5

，
于是在RT△PHE中，tan∠PEH=

3

3 5

=

15

3

，
∴二面角P-BD-A的正切值大小为

15

3

．

点评：本题考查线面垂直的判定，以及二面角的证明，通过对四棱锥的考查，以及直角三角形的考查，得到要求的结果，属于中档题．