Question

如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，侧棱DD₁⊥底面ABCD，AD⊥DC，AD∥BC，AD=DD₁=2，BC=DC=1．点E是侧棱DD₁的中点．
（1）证明：B₁E⊥AB；
（2）若点F在线段B₁E上，且B₁F=

1

3

B₁E，求直线AF与平面BDD₁B₁所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）证明B₁E⊥AB，只需证明AB⊥平面BDD₁B₁；
（2）连接BF，则∠AFB为直线AF与平面BDD₁B₁所成角，求出AF即可得出结论．

解答： （1）证明：∵侧棱DD₁⊥底面ABCD，AB?底面ABCD，
∴DD₁⊥AB，
在梯形ABCD中，∵AD=2，BC=DC=1，
∴AB=BD=

2

，
∴AB²+BD²=AD²，
∴BD⊥AB，
∵BD∩DD₁=D，
∴AB⊥平面BDD₁B₁，
∵B₁E?平面BDD₁B₁，
∴B₁E⊥AB；
（2）解：连接BF，则∠AFB为直线AF与平面BDD₁B₁所成角．
在矩形BDD₁B₁中，B₁E=

3

，cos∠B₁ED₁=

3

3

，
由余弦定理可得BF=

3

，
∴AF=

AB2+BF2

=

5

，
∴直线AF与平面BDD₁B₁所成角的正弦值为

AB

AF

=

10

5

．

点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，直线与平面垂直的判定与性质，属于中档题．