Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足：S_n=

a

a-1

（a_n-1）（a为常数，且a≠0，a≠1）．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若a=

1

3

，设b_n=

1

1+an

+

1

1-an+1

，数列{b_n}的前n项和为T_n．求证：T_n＞2n-

1

3

．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的通项公式,等比数列的通项公式,数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出{a_n}是首项为a，公比为a的等比数列，由此能求出{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由a=

1

3

，得a_n=(

1

3

)n，bn =2-（

1

3n+1

-

1

3n+1-1

）＞2-（

1

3n

-

1

3n+1

），由此利用裂项求和法能证明T_n＞2n-

1

3

．

解答： （Ⅰ）解：∵S_n=

a

a-1

（a_n-1），
∴n=1时，S1=a1=

a

a-1

(a1-1)，解得a1 =a．…（2分）
当n≥2时，有a_n=S_n-S_n-1
=

a

a-1

an-

a

a-1

an-1，
解得

an

an-1

=a，…（4分）
∴{a_n}是首项为a，公比为a的等比数列．…（5分）
∴an=a•an-1=an．…（6分）
（Ⅱ）证明：∵a=

1

3

，∴a_n=(

1

3

)n，…（7分）
∴bn =

1

1+( 1 3 )n

+

1

1-( 1 3 )n+1

=

3n

3n+1

+

3n+1

3n+1-1

=

3n+1-1

3n+1

+

3n+1-1+1

3n+1-1

=1-

1

3n+1

+1+

1

3n+1-1

=2-（

1

3n+1

-

1

3n+1-1

），…（9分）
由

1

3n+1

＜

1

3n

，

1

3n+1-1

＞

1

3n+1

，
得

1

3n+1

-

1

3n+1-1

＜

1

3n

-

1

3n+1

，…（11分）
∴bn=2-(

1

3n+1

-

3

3n+1-1

)＞2-（

1

3n

-

1

3n+1

），…（12分）
∴Tn =b₁+b₂+…+b_n
＞[2-（

1

3

-

1

32

）]+[2-（

1

32

-

1

33

）]+…+[2-（

1

3n

-

1

3n+1

）]
=2n-[（

1

3

-

1

32

）+（

1

32

-

1

33

）+…+（

1

3n

-

1

3n+1

）]
=2n-（

1

3

-

1

3n+1

）＞2n-

1

3

．
即T_n＞2n-

1

3

．…（14分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．