Question

如图，已知曲线C₁：y=x³（x≥0）与曲线C₂：y=-2x²+3x（x≥0）交于点O，A，与直线x=t（0＜t＜1）与曲线C₁，C₂交于B，D
（1）写出四边形ABOD的面积S与t的函数关系S=f（t）
（2）讨论f（t）的单调性，并求f（t）的最大值
（3）对任意t∈（0，1），x∈（

π

4

，π]，f（t）＞cos x+

3

sin x+a恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数解析式的求解及常用方法,利用导数研究函数的单调性

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）先联立两曲线的方程，解出交点B、D的坐标，然后据图可得S=

1

2

BD×1，将S表示成关于t的函数；
（2）由（1）知，S=f（t）是一个三次函数，因此利用导数研究其在定义域（0，1）上的单调性；
（3）这是一个两个变量的恒成立问题，只需f（t）_min＞（cos x+

3

sin x+a）_max，t∈（0，1），x∈（

π

4

，π]．

解答： 解：（1）由

y=x3 y=-2x2+3x

解得O（0，0），A（1，1），
将x=t分别代入C₁：y=x³（x≥0）与曲线C₂：y=-2x²+3x（x≥0）的方程得B（t，t³），D（t，-2t²+3t），
∴BD=-2t²+3t-t³，
∵四边形ABOD的面积是△OBD与△ABD面积的和，
∴S=

1

2

BD•t+

1

2

BD•(1-t)=

1

2

BD×1=

1

2

(-2t2+3t-t3)（0＜t＜1），
=-

1

2

t3-t2+

3

2

t（0＜t＜1）．

（2）令f（t）=-

1

2

t3-t2+

3

2

t（0＜t＜1），
则f′（t）=-

3

2

t2-2t+

3

2

，
令f′（t）=0得t1=

2+ 13

-3

，或t2=

13 -2

3

，
由f′(t)＞0得-

2+ 13

3

＜t＜

13 -2

3

，由f′(t)＜0得t＜-

2+ 13

3

或t＞

13 -1

3

，
∴当t∈(0，

13 -2

3

)时，f′（t）＞0；当t∈（

13 -2

3

，1）时，f′（t）＜0；
∴f（t）在(0 ， 

13 -2

3

)上是增函数，在(

13 -2

3

，1)上是减函数，
∴f(x)max=f(

13 -2

3

)=

29 13 -103

18

．
（3）由（2）知当t∈（0，1）时，f（t）的最小值是f（0）与f（1）中的较小者，∴f（t）_min=f（0）=f（1）=0，
令g（x）=（cos x+

3

sin x+a）x∈（

π

4

，π]，
∵g(x)=2(

1

2

cosx+

3

2

sinx)+a=2sin(x+

π

6

)+a，
又∵x∈[

π

4

，π]，∴当x=

π

3

时，g（x）_max=2+a，
又∵对任意t∈（0，1），x∈（

π

4

，π]，f（t）＞cos x+

3

sin x+a恒成立，
∴只需f（t）_min＞g（x）_max，
即0＞2+a，∴a＜-2．

点评：本题的第一问考查利用函数知识解决几何图形的面积问题，应先画出图象，可以看出，因为直线x=t的移动，引起了四边形ABOD面积的变化，因此用t把四边形的面积表示出来，得到S=f（t）的表达式，注意定义域；第二问就是一个利用导数研究三次函数在指定区间上单调性的问题，属常规题；第三问两个变量的取值相互不受影响，因此只需f（t）_min＞g（x）_max，即可，将问题转化为求两个函数的最值问题．