Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知平面BB₁C₁C⊥平面ABC，AB=AC，D是BC中点，且B₁D⊥BC₁．
（Ⅰ）证明：A₁C∥平面B₁AD；
（Ⅱ）证明BC₁⊥平面B₁AD．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）连结BA₁交AB₁与点O，由棱柱知侧面AA₁B₁B为平行四边形，进而判断出O为BA₁的中点，又D是BC的中点，推断出OD∥A₁C，利用线面平行的判定定理推断出A₁C∥平面B₁AD．
（Ⅱ）由D是BC的中点，AB=AC，可知AD⊥BC，进而根据线面垂直的判定定理知AD⊥平面BB₁C₁C，进而根据性质推断出AD⊥BC₁，最后根据线面垂直的判定定理推断出BC₁⊥平面B₁AD．

解答： 证明：（Ⅰ）连结BA₁交AB₁与点O，由棱柱知侧面AA₁B₁B为平行四边形，
∴O为BA₁的中点，又D是BC的中点，
∴OD∥A₁C，
∵A₁C?平面B₁AD，OD?平面B₁AD，
∴A₁C∥平面B₁AD．
（Ⅱ）∵D是BC的中点，AB=AC，
∴AD⊥BC，
∵平面BB₁C₁C⊥平面ABC，平面BB₁C₁C∩平面ABC=BC，AD?平面ABC，
∴AD⊥平面BB₁C₁C，
∵BC₁?平面BB₁C₁C，
∴AD⊥BC₁，
又B₁D⊥BC₁，且AD∩B₁D=D，
∴BC₁⊥平面B₁AD．

点评：本题主要考查了线面垂直的判定定理的应用．解题的关键是找打线与平面内两相交的直线垂直．