Question

（1）已知|

a

|+2|

b

|=3，

a

与

b

的夹角为60°，

c

=5

a

+3

b

，

d

=3

a

+k

b

，当实数k为何值时

c

∥

d

．
（2）不共线向量

a

，

b

的夹角为小于120°的角，且|

a

|=1，|

b

|=2，已知向量

c

=

a

+2

b

，求|

c

|的取值范围．

Answer 1

考点：数量积表示两个向量的夹角,向量的模,平行向量与共线向量

专题：平面向量及应用

分析：（1）由题意可得

a

、

b

可以作为平面向量的一个基底，要使

c

∥

d

，只需

5

3

=

3

k

，由此解得k的值．
（2）由＜

a

，

b

＞∈（0°，120°），可得 

a

•

b

∈（-1，2）．求得 

c

2=1-4

a

•

b

+16的范围，可得|

a

|的范围．

解答： 解：（1）由题意可得

a

、

b

不共线，故

a

、

b

可以作为平面向量的一个基底，
∵

c

=5

a

+3

b

，

d

=3

a

+k

b

，要使

c

∥

d

，只需

5

3

=

3

k

，解得 k=

9

5

．
（2）∵不共线向量

a

，

b

的夹角为小于120°的角，即＜

a

，

b

＞∈（0°，120°），
∴cos＜

a

，

b

＞∈（-

1

2

，1），∴

a

•

b

=1×2×cos＜

a

，

b

＞∈（-1，2）．
∵向量

c

=

a

+2

b

，∴

c

2=a²+4

a

•

b

+4

b

2=1-4

a

•

b

+16∈（13，25），
∴|

a

|∈(

13

，5)．

点评：本题主要考查两个向量共线的条件，两个向量的数量积的定义，求向量的模，属于中档题．