Question

在Rt△AOB中，∠OAB=

π

6

，斜边AB=4．Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到Rt△AOC，且二面角B-AO-C是直二面角．动点D在斜边AB上．
（1）求证：平面COD⊥平面AOB；
（2）当AD=

1

2

DB时，求异面直线AO与CD所成角的正切值；
（3）求CD与平面AOB所成最大角的正切值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,异面直线及其所成的角,平面与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）利用二面角的定义、线面与面面垂直的判定与性质即可得出；
（2）作DE⊥OB，垂足为E，连结CE，则DE∥AO，∠CDE是异面直线AO与CD所成的角，在Rt△CDE中，可求异面直线AO与CD所成角的正切值；
（3）由（1）知，CO⊥平面AOB，可得∠CDO是CD与平面AOB所成的角，当OD最小时，∠CDO最大，结合含30°角的直角三角形的边角关系即可得出．

解答： （1）证明：由题意，CO⊥AO，BO⊥AO，
∴∠BOC是直二面角B-AO-C的平面角，…（2分）
∴CO⊥BO，
又∵AO∩BO=O，∴CO⊥平面AOB，
又CO?平面COD，
∴平面COD⊥平面AOB．                …（4分）
（2）解：作DE⊥OB，垂足为E，连结CE，则DE∥AO，
∴∠CDE是异面直线AO与CD所成的角．     …（6分）
在 Rt△COB中，易得CO=BO=2，OE=

1

3

BO=

2

3

，
∴CE=

CO2+OE2

=

2 10

3

．
又DE=

2

3

AO=

4 3

3

．
∴在Rt△CDE中，tan∠CDE=

CE

DE

=

30

6

．
∴异面直线AO与CD所成角的正切值为

30

6

．                 …（9分）
（3）解：由（1）知，CO⊥平面AOB，∴∠CDO是CD与平面AOB所成的角，且tan∠CDO=

OC

OD

=

2

OD

．
当OD最小时，∠CDO最大，…（11分）
这时，OD⊥AB，垂足为D，OD=

OA•OB

AB

=

3

，tan∠CDO=

2 3

3

，
∴CD与平面AOB所成最大角的正切值为

2 3

3

．…（14分）

点评：熟练掌握二面角的定义、线面与面面垂直的判定与性质、线面角的定义及其含30°角的直角三角形的边角关系是解题的关键．