Question

正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长等于2，E，F分别是B′D′，AC的中点．求：
（1）直线AB′和平面ACD′所成角的正弦值；
（2）二面角B′-CD′-A的余弦值；
（3）点B到平面ACD′的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,与二面角有关的立体几何综合题

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：（1）建立空间直角坐标系，求出平面ACD'的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线AB′和平面ACD′所成角的正弦值；
（2）求出平面B'CD'的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角B′-CD′-A的余弦值；
（3）点B到平面ACD'的距离d=|

BD′ • n

| n |

|=

2

3

3

．

解答： 解：如图建立空间直角坐标系O-xyz，
∵正方体的棱长等于2，E，F分别是B'D'，AC的中点，
∴A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D'（0，0，2），B'（2，2，2），E（1，1，2），F（1，1，0）．
（1）

AD′

=(-2，0，2)，

AC

=(-2，2，0)，

AB′

=(0，2，2)，
设

n

=(x′，y′，z′)是平面ACD'的一个法向量，则
由

n • AD′ =0 n • AC =0

⇒

(x′，y′，z′)•(-2，0，2)=0 (x′，y′，z′)•(-2，2，0)=0

⇒

z′=x′ y′=x′

，
取x'=1，得平面ACD'的一个法向量

n

=(1，1，1)，
设直线AB'和平面ACD'所成角的大小为θ，则sinθ=|

n • AB′

| n |•| AB′ |

|=|

(1，1，1)•(0，2，2)

3 • 8

|=

6

3

∴直线AB'和平面ACD'所成角的正弦值是

6

3

（2）

D′B′

=(2，2，0)，

D′C

=(0，2，-2)，
设

m

=(x0，y0，z0)是平面B'CD'的一个法向量，则
由

m • D′B′ =0 m • D′C =0

得

x0=-y0 z0=y0

，取y₀=1得平面B'CD'的一个法向量

m

=(-1，1，1)
由cosθ=

n • m

| n |•| m |

=

(1，1，1)•(-1，1，1)

3 • 3

=

1

3

，
故二面角B'-CD'-A的余弦值是

1

3

（3）∵

BD′

=(-2，-2，2)，平面ACD'的一个法向量

n

=(1，1，1)，
∴点B到平面ACD'的距离d=|

BD′ • n

| n |

|=

2

3

3

点评：本题考查空间向量的运用，考查线面角，面面角，考查点到面的距离，考查学生的计算能力，难度中等．