Question

设数列{a_n}是等差数列，数列{b_n}的前n项和S_n满足S_n=1-b_n，（n∈N⁺），且a₂-1=

1

b1

，a₅=

1

b3

+1．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式：
（Ⅱ）设T_n为数列{a_n．b_n}的前n项和，求T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）根据等差数列的通项公式，建立方程组，求出首项和公差，即可求数列{a_n}和{b_n}的通项公式：
（Ⅱ）利用错位相减法即可求数列{a_n．b_n}的前n项和．

解答： 解（Ⅰ）由S_n=1-b_n     （1）
知当n=1时，b₁=1-b₁，∴b₁=

1

2

．
当n≥2时，S_n-1=1-b_n-1，（2）
（1）-（2）得2b_n=b_n-1，
∴

bn

bn-1

=

1

2

（n≥2），
∴{b_n}是以

1

2

为首项以

1

2

为公比的等比数列，
∴bn=

1

2n

，
∴b3=

1

8

，
∴a₂=3，a₅=9，∴3d=a₅-a₂=6，∴d=2．
故a₁=1，a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（Ⅱ）∵a_n．b_n=

2n-1

2n

，
∴S_n=

1

2

+

3

22

+…+

2n-1

2n

           ①，

1

2

S_n=

1

22

+

3

23

+…+

2n-3

2n

+

2n-1

2n+1

     ②
①-②得

1

2

S_n=

1

2

+2(

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

)-

2n-1

2n+1

=

3

2

-

2n+3

2n+1

，
∴S_n=3-

2n+3

2n

．

点评：本题主要考查数列的通项公式以及数列求和，利用错误相减法是解决本题的关键，考查学生的计算能力．