Question

如图，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M、N （异于村庄A），要求PM=PN=MN=2（单位：千米）．设∠AMN=θ．
（1）在△AMN和△AMP中试用θ表示AM和AP²；
（2）设AP²=f（θ），化简f（θ）；
（3）θ为多少时，工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离AP最远），并求出AP的最大值．

Answer 1

考点：正弦定理的应用

专题：解三角形

分析：（1）根据正弦定理，即可θ表示AM和AP²；
（2）设AP²=f（θ），根据三角函数的公式，以及辅助角公式即可化简f（θ）；
（3）根据三角函数的图象和性质，即可求出函数的最值．

解答： 解：（1）∠AMN=θ，在△AMN中，

MN

sin60°

=

AM

sin(120°-θ)

．
因为MN=2，所以AM=

4 3

3

sin（120°-θ）．           …（2分）
在△APM中，cos∠AMP=cos（60°+θ）．                 …（5分）
AP²=AM²+MP²-2 AM•MP•cos∠AMP
=

16

3

sin²（120°-θ）+4-2×2×

4 3

3

 sin（120°-θ） cos（60°+θ）    …（7分）
=

16

3

sin²（θ+60°）-

16 3

3

 sin（θ+60°） cos（θ+60°）+4
=

8

3

[1-cos （2θ+120°）]-

8 3

3

 sin（2θ+120°）+4
=-

8

3

[

3

sin（2θ+120°）+cos （2θ+120°）]+

20

3

=

20

3

-

16

3

sin（2θ+150°），θ∈（0，120°）．                 …（11分）
当且仅当2θ+150°=270°，即θ=60°时，AP²取得最大值12，即AP取得最大值2

3

．
答：设计∠AMN为60°时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…（13分）

点评：本题主要考查与三角函数有关的应用问题，利用正弦定理以及三角函数的三角公式是解决本题的关键．