Question

已知f（x）=

( 1 2 )x，x＜0 3x，x≥0

（1）若存在实数x₀，使得f（x₀）≤m，求m的取值范围；
（2）若x₁≠x₂且f（x₁）=f（x₂），求证：x₁+x₂＜0．

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）若存在实数x₀，使得f（x₀）≤m，即f（x）_min≤m，分析函数的单调性，进而求出最小值，即可得到m的取值范围；
（2）证法一：分析函数的单调性，根据x₁≠x₂且f（x₁）=f（x₂），令g（x）=f（-x），xx₁＜0＜x₂，分析g出g（-x₁）＜f（-x₁），进而可得结论；
证法二：分析函数的单调性，根据x₁≠x₂且f（x₁）=f（x₂），令g（x）=f（-x），xx₁＜0＜x₂，判断出

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

＞0，进而得到结论．

解答： 解：（1）因为（

1

2

）^x在（-∞，0）上单调递减，
故x＜0时，f（x）∈（1，+∞）；
因为3^x在[0，+∞）上单调递增，故x≥0时，f（x）∈[1，+∞），
故f（x）的值域为[1，+∞），
因为存在实数x₀，使得f（x₀）≤m，
故m≥1，
所以m的取值范围是[1，+∞）；
（2）证法一：因为x₁≠x₂且f（x₁）=f（x₂）
而f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
故不妨设x₁＜0＜x₂，则-x₁＞0，
设g（x）=f（-x），故x＞0时，
f（x）-g（x）=3^x-（

1

2

）^-x=3^x-2^x＞0
所以f（x₂）=f（x₁）=g（-x₁）＜f（-x₁），
又f（x）在（0，+∞）上单调递增，所以x₂＜-x₁，
即x₁+x₂＜0．
证法二：因为x₁≠x₂且f（x₁）=f（x₂）
而f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
故不妨设x₁＜0＜x₂，
设f（x₁）=f（x₂）=a，由（1）知，a＞1，
故x₁=log

1

2

a，x₂=log₃a，
所以

1

x1

+

1

x2

=log_a

1

2

+log_a3=log_a

3

2

＞0
即

x1+x2

x1x2

＞0，又x₁x₂＜0，
所以x₁+x₂＜0．

点评：本题考查的知识点是函数单调性的性质，存在性问题，函数的最值，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．