Question

已知函数f（x）=2lnx-x²
（1）若方程f（x）+m=0在[

1

e

，e]内有两个不等的实根，求实数m的取值范围；（e为自然对数的底数）
（2）如果函数g（x）=f（x）-ax的图象与x轴交于两点A（x₁，0）、B（x₂，0）且0＜x₁＜x₂．求证：g′（px₁+qx₂）＜0（其中正常数p，q满足p+q=1，且q≥p）．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：综合题

分析：（1）由f（x）+m=0可化为f（x）=-m，即求一个函数值对应两个自变量．由图象可知要求函数的极值与端点函数值．因此先求出f′（x），在区间[

1

e

，e]内判定f（x）的单调性并求极值．从图象中确定-m的取值范围，进一步确定m的取值范围．
（2）先对g（x）求导，发现表达式中含x，a；结合题要求消去a．化简g′（px₁+qx₂），通过放缩法和换元法证明不等式成立．

解答： 解：（1）由f（x）=2lnx-x²求导得到：
f′(x)=

2(1-x)(1+x)

x

，
∵x∈

1

e

，e]，故f′（x）在x=1有唯一的极值点，f(

1

e

)=-2-

1

e2

，
f（e）=-2-e²，f（x）_极大值=f（1）=-1，
且知f(e)＜f(

1

e

)，故f（x）=-m在[

1

e

，e]内有两个不等的实根满足：-2-

1

e2

≤-m＜-1
故m的取值范围为（1，2+

1

e2

]．
（2）g′(x)=

2

x

-2x-a，又f（x）-ax=0有两个不同的实根x₁、x₂，则

2inx1-x12-ax1=0 2lnx2- x 2 2 -ax2=0

则a=

2(lnx1-lnx2)

x1-x2

-(x1+x2)
于是g′(px1+qx2)=

2

px1+qx2

-2(px1+qx2)-[

2(lnx1-lnx2)

x1-x2

-(x1+x2)]
=

2

px1+qx2

-

2(lnx1-lnx2)

x1-x2

+（2p-1）（x₂-x₁）
∵2p≤1，0＜x₁＜x_2，∴（2p-1）（x₂-x₁）≤0
要证：g′（px₁+qx₂）＜0，只需证：

2

px1+qx2

+

2(lnx1-lnx2)

x2-x1

＜0
 即证：

x2-x1

px1+qx2

+ln

x1

x2

＜0①
令

x1

x2

=t，0＜t＜1，即证：u(t)=

1-t

pt+q

+lnt＜0在0＜t＜1上恒成立，
又u′(t)=

1

t

-

1

(pt+q)2

=

p2(t-1)(t- q2 p2 )

t(pt+q)2

∵正常数p，q，p+q=1，且q≥p，则

q2

p2

≥1．
可知：t-1＜0，t-

q2

p2

＜0，
故知u′（t）＞0∴u（t）在t∈（0，1）上为增函数，
则u（t）＜u（1）=0，从而知①成立，从而原不等式成立．

点评：考查学生会利用导数确定图象的大致形状，并在此基础上在题目条件要求下确定函数值的取值范围；同时应用了转化的思想．第二问考查了学生消参的方法、及通过放缩法，换元法证明不等式的方法．