Question

在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，△ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点，N为线段PB的中点，G在线段BM上，且

BG

GM

=2．
（Ⅰ）求证：AB⊥PD；
（Ⅱ）求证：GN∥平面PCD．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定

专题：

分析：（Ⅰ）根据线面垂直的性质和判定，即可得证；
（Ⅱ）由等边三角形的性质和直角三角形中30°所对的直角边为斜边的一半，得到MD=

1

4

BD，由平行线分线段成比例的判定得到GN∥PD，再由线面平行的判定定理即可得证．

解答： （Ⅰ）证明：∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥AB，
又∵AD⊥AB，∴AB⊥平面PAD，
又PD?平面PAD，∴AB⊥PD．
（Ⅱ）证明：∵△ABC是正三角形，且M是AC中点，
∴BM⊥AC，
在直角三角形AMD中，∠MAD=30°，∴MD=

1

2

AD，
在直角三角形ABD中，∠ABD=30°，∴AD=

1

2

BD，
∴MD=

1

4

BD，
又∵

BG

GM

=2，∴BG=GD，又N为线段PB的中点，
∴GN∥PD，GN?平面PCD，PD?平面PCD，
∴GN∥平面PCD．

点评：本题主要考查线面垂直的判定和性质，以及线面平行的判定定理，注意线线垂直与线面垂直的相互转化，本题属于基础题．