Question

在等比数列{a_n}（q≠1）中，已知a₁=1，a₄=8．
（1）求{a_n}的通项公式； 
（2）求S_n=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据等比数列的通项公式，求出公比，即可求{a_n}的通项公式； 
（2）利用错误相减法即可求S_n=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n．

解答： 解：（1）在等比数列中，a₄=q³=8，
解得q=2，则{a_n}的通项公式a_n=2^n-1； 
（2）∵a_n=2^n-1，
∴na_n=n•2^n-1，
则S_n=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=1+2•2¹+3•2²+…+n•2^n-1，①
2S_n=2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，②
①一②得-S_n=1+2+2²+2³+…+•2^n-1-n•2ⁿ=

1-2n

1-2

-n•2ⁿ=2ⁿ-1-n•2ⁿ=（1-n）2ⁿ-1，
则S_n=（n-1）2ⁿ+1．

点评：本题主要考查等比数列的通项公式以及数列求和，要求熟练掌握求数列和的几种常见方法，错位相减法和裂项法，考查学生的运算能力．