Question

是否存在常数a、b，使等式：1²+2²+3²+…+n²=an（n+b）（2n+1）对一切正整数n成立？并证明你的结论．

Answer 1

考点：数学归纳法

专题：证明题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：先令n=1，n=2，构造三个方程求出a，b，再用用数学归纳法证明成立，证明时先证：（1）当n=1时成立．（2）再假设n=k（k≥1）时，成立，递推到n=k+1时，成立即可．

解答： 解：分别将n=1，2代人，得

1=3a(1+b) 5=10a(2+b)

，
∴a=

1

6

，b=1…（2分）
下面用数学归纳法证明
（1）当n=1时，由上可知等式成立…（3分）
（2）假设n=k时结论成立，即1²+2²+3²+…+k²=

k(k+1)(2k+1)

6

，
那么n=k+1时，1²+2²+3²+…+k²+（k+1）²=

k(k+1)(2k+1)

6

+（k+1）²
=

(k+1)(k+2)(2k+3)

6

=

(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]

6

，
这就是说，n=k+1时，结论也成立…（11分）
由（1）（2）可知，存在常数a=

1

6

，b=1使等式：1²+2²+3²+…+n²=an（n+b）（2n+1）对一切正整数n成立…（12分）

点评：本题主要考查研究存在性问题和数学归纳法，对存在性问题先假设存在，再证明是否符合条件，数学归纳法的关键是递推环节，要符合假设的模型才能成立．