Question

已知函数f（x）=-

1

3

x3+x2+(m2-1)x，（x∈R），其中m＞0
（Ⅰ）当m=2时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线的方程；
（Ⅱ）若f（x）在（

3

2

，+∞）上存在单调递增区间，求m的取值范围
（Ⅲ）已知函数f（x）有三个互不相同的零点0，x₁，x₂且x₁＜x₂，若对任意的x∈[x₁，x₂]，f（x）＞f（1）恒成立．求m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的概念及应用

分析：（Ⅰ）当m=2时，f（x）=

1

3

x³+x²+3x，通过求导得出斜率k的值，从而求出切线方程；
（Ⅱ）只需f′（

3

2

）＞0即可，解不等式求出即可；
（Ⅲ）由题设可得f(x)=x(-

1

3

x2+x+m2-1)=-

1

3

x(x-x1)(x-x2)，由判别式△＞0，求出m的范围，对任意的x∈[x₁，x₂]，f（x）＞f（1）恒成立的充要条件是f(1)=m2-

1

3

＜0，从而综合得出m的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）当m=2时，f（x）=

1

3

x³+x²+3x，
∴f′（x）=-x²+2x+3，
故k=f′（3）=0，
又∵f（3）=9，
∴曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程为：y=9，
（Ⅱ）若f（x）在（

3

2

，+∞）上存在单调递增区间，
即存在某个子区间（a，b）?（

3

2

，+∞）使得f′（x）＞0，
∴只需f′（

3

2

）＞0即可，
f′（x）=-x²+2x+m²-1，
由f′（

3

2

）＞0解得m＜-

1

2

或m＞

1

2

，
由于m＞0，∴m＞

1

2

．
（Ⅲ）由题设可得f(x)=x(-

1

3

x2+x+m2-1)=-

1

3

x(x-x1)(x-x2)，
∴方程-

1

3

x2+x+m2-1=0有两个相异的实根x₁，x₂，
故x₁+x₂=3，且△=1+

4

3

(m2-1)＞0
解得：m＜-

1

2

（舍去）或m＞

1

2

，
∵x₁＜x₂，所以2x₂＞x₁+x₂=3，∴x2＞

3

2

＞1，
若 x₁≤1＜x₂，
则f(1)=-

1

3

(1-x1)(1-x2)≥0，
而f（x₁）=0，不合题意．
若1＜x₁＜x₂，对任意的x∈[x₁，x₂]，
有x＞0，x-x₁≥0，x-x₂≤0，
则f(x)=-

1

3

x(x-x1)(x-x2)≥0，
又f（x₁）=0，所以 f（x）在[x₁，x₂]上的最小值为0，
于是对任意的x∈[x₁，x₂]，f（x）＞f（1）恒成立的充要条件是f(1)=m2-

1

3

＜0，
解得-

3

3

＜m＜

3

3

；     
综上，m的取值范围是(

1

2

，

3

3

)．

点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，求切线的方程，解不等式，本题是一道综合题．