Question

已知矩阵A=

1 2 -1 4

（1）求矩阵A的特征值和特征向量；    
（2）若β=

-1 2

，求A⁵β

Answer 1

考点：特征值与特征向量的计算,几种特殊的矩阵变换,二阶行列式与逆矩阵

专题：计算题,矩阵和变换

分析：（1）先根据特征值的定义列出特征多项式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量．
（2）由（1）的结论令向量

β

=m

α1

+n

α2

，求出m，n，故A⁵

β

=-3λ15

α1

+5λ25

α2

．代入特征向量即可得到．

解答： 解：（1）矩阵A的特征多项式为f（λ）=

.

λ-1 -2 1 λ-4

.

=λ²-5λ+6，
令f（λ）=0，解得λ₁=2，λ₂=3，
将λ₁=2代入

(λ-1)x+(-2)y=0 x+(λ-4)y=0

，解得x-2y=0，
所以矩阵A属于特征值2的一个特征向量为

α1

=

2 1

；
同理，矩阵A属于特征值3的一个特征向量为

α2

=

1 1

．
（2）令

β

=m

α1

+n

α2

，则

-1 2

=m

2 1

+n

1 1

=

2m+n m+n

，
解得，m=-3，n=5，
∴

β

=-3

α1

+5

α2

，
∴A⁵

β

=-3λ15

α1

+5λ25

α2

=-3×2⁵×

2 1

+5×3⁵×

1 1

=

1023 1119

．

点评：本题给出二阶矩阵，求矩阵A的特征值和特征向量．着重考查了特征向量的定义、求法及其性质等知识，属于中档题．