Question

在直角坐标系xoy中，点P到两点F₁（-

3

，0），F₂（

3

，0）的距离之和等于4，设P点的轨迹为曲线C，过点M（1，0）的直线l与曲线C交于A、B两点．
（1）求曲线C的方程；
（2）若抛物线：y²=2px（p＞0）与曲线C交于不同两点P、Q，且

PF2

=

F2Q

，求抛物线的通径；
（3）求

OA

•

OB

的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）易知曲线C为椭圆，由定义可知c=

3

，a=2，从而有b²=1；
（2）由

PF2

=

F2Q

且椭圆和抛物线都关于x轴对称，知PQ⊥x轴，可得xP=xQ=

3

，代入椭圆的方程可求点P、Q坐标，代入抛物线方程可求p值；
（3）分情况讨论：斜率为0及斜率不存在时易求

OA

•

OB

的值；斜率存在且不为0时，设l：x=my+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立

x=my+1 x2+4y2=4

，得（m²+4）y²+2my-3=0，利用韦达定理及向量数量积运算可表示

OA

•

OB

为m的表达式，利用函数性质可求范围；

解答： 解：（1）由题意知曲线C为以F₁（-

3

，0），F₂（

3

，0）为焦点的椭圆，
且c=

3

，a=2，∴b²=1，
∴曲线C的方程为：

x2

4

+y2=1；
（2）∵

PF2

=

F2Q

且椭圆和抛物线都关于x轴对称，∴PQ⊥x轴，
则xP=xQ=

3

，代入椭圆的方程得：P(

3

，

1

2

)，Q(

3

，-

1

2

)，
把点P坐标代入抛物线方程得：p=

3

24

，
∴抛物线C₂的通径为

3

12

；
（3）1⁰当l的斜率为0时，则

OA

•

OB

=-4；
2⁰当l的斜率存在且不为0时，设l：x=my+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立

x=my+1 x2+4y2=4

，得（m²+4）y²+2my-3=0，
∴y1+y2=

-2m

m2+4

，y1y2=

-3

m2+4

，

OA

•

OB

=x1x2+y1y2
=(my1+1)(my2+1)+y1y2=m2y1y2+m(y1+y2)+1+y1y2
=(m2+1)y1y2+m(y1+y2)+1=(m2+1)

-3

m2+4

+

-2m2

m2+4

+1
=

-3m2-3-2m2+m2+4

m2+4

=

-4m2+1

m2+4

=

-4(m2+4)+17

m2+4

=-4+

17

m2+4

∈（-4，

1

4

）；
3⁰当l的斜率不存在时，直线方程为x=1，此时A点、B点坐标为(1，

3

2

)，(1，-

3

2

)，
故

OA

•

OB

=1×1+

3

2

×(-

3

2

)=

1

4

；
综上可知

OA

•

OB

的取值范围为[-4，

1

4

]．

点评：本题考查椭圆的定义、方程、性质，考查直线与椭圆的位置关系、向量数量积运算，考查运算求解能力，熟练运用韦达定理是及解决相关问题的基础．