Question

平行四边形ABCD中，AB=1，AD=2，且∠BAD=60°，以BD为折线，把△ABD折起，使平面ABD⊥平面CBD，连接AC．

（Ⅰ）求证：AB⊥DC；
（Ⅱ）求二面角B-AC-D的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,空间中直线与直线之间的位置关系,二面角的平面角及求法

专题：空间角

分析：（Ⅰ）由已知条件利用勾股定理推导出AB⊥BD，从而得到平面ABD⊥平面BDC，进而得到AB⊥平面BDC，由此能够证明AB⊥DC．
（Ⅱ）以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，过D垂直于平面BDC的射线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-AC-D的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：在△ABD中，
∵BD²=AB²+AD²-2•AB•AD•cos60°=3，
∴AD²=AB²+BD²，∴AB⊥BD，
∴平面ABD⊥平面BDC，
∴AB⊥平面BDC，∴AB⊥DC．…（3分）
（Ⅱ）解：在四面体ABCD中，以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，
过D垂直于平面BDC的射线为z轴，
建立如图的空间直角坐标系．…（4分）
则D（0，0，0），B（

3

，0，0），
C（0，1，0），A（

3

，0，1）
设平面ABC的法向量为

n

=(x，y，z)，
∵

BA

=(0，0，1)，

BC

=(-

3

，1，0)，
由

n • BA =0 n • BC =0

，得：

z=0 - 3 x+y=0

，
取x=1，得

n

=(1，

3

，0)，…（6分）
再设平面DAC的法向量为

m

=(x′，y′，z′)，
∵

DA

=(

3

，0，1)，

DC

=(0，1，0)，
由

m • DA =0 m • DC =0

，得：

3 x′+z′=0 y′=0

，取x′=1，得

m

=(1，0，-

3

)，…（8分）
∴cos?

n

，

m

＞=

n • m

| n || m |

=

1

4

，
∴二面角B-AC-D的余弦值是

1

4

．…（10分）

点评：本题考查异面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．