Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a₂=a-1（a≠0且a≠1），其前n项和为S_n，且当n≥2时，

1

Sn

=

1

an

-

1

an+1

．
（1）求证：数列{S_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）若a=4，令b_n=

9an

(an+3)(an+1+3)

，记数列{b_n}的前n项和为T_n，求T_n的表达式．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出S_n²=S_n-1S_n+1（n≥2），由此能证明数列{S_n}是等比数列．
（2）由（Ⅰ）知S_n=a^n-1，由此能求出数列{a_n}的通项公式．．
（3）当a=4，n≥2时，a_n=3×4^n-2，此时bn=

1

4n-2+1

-

1

4n-1+1

，b₁=

3

8

，由此能求出T_n．

解答： （1）证明：当n≥2时，

1

Sn

=

1

an

-

1

an+1

=

1

Sn-Sn-1

-

1

Sn+1-Sn

，
化简得S_n²=S_n-1S_n+1（n≥2），
又由S₁=1≠0，S₂=a≠0，得对一切正整数n均有S_n≠0，
∴数列{S_n}是等比数列．
（2）由（Ⅰ）知等比数列{S_n}的首项为1，公比为a，
∴S_n=a^n-1．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（a-1）a^n-2，
又a₁=S₁=1，
∴an=

1，n=1 (a-1)an-2，n≥2

．
（3）当a=4，n≥2时，a_n=3×4^n-2，
此时bn=

9an

(an+3)(an+1+3)

=

9×3×4n-2

(3×4n-2+3)(3×4n-1+3)

=

3×4n-2

(4n-2+1)(4n-1+1)

=

1

4n-2+1

-

1

4n-1+1

，
又b₁=

9a1

(a1+3)(a2+3)

=

3

8

，
∴b_n=

3 8 ，n=1 1 4n-2+1 - 1 4n-1+1 ，n≥2

，
T₁=b₁=

3

8

，
当n≥2时，
T_n=

3

8

+（

1

2

-

1

5

+

1

5

-

1

17

+…+

1

4n-2+1

-

1

4n-1+1

）
=

3

8

+

1

2

-

1

4n-1+1

=

7

8

-

1

4n-1+1

，
∴T_n=

3 8 ，n=1 7 8 - 1 4n-1+1 ，n≥2

．

点评：本题考查数列是等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．