Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各条棱长均为2，点B₁在平面ABC内的射影恰好落在AC边的中点O处．
（1）求点A到平面BCC₁B₁的距离；
（2）棱BB₁上是否存在点P，使得二面角P-AC-B的大小为60°？若存在，请确定点P的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）以O为原点，OB，OC，OB₁分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点A到平面BCC₁B₁的距离．
（2）若存在满足条件的点P，设

BP

=λ

BB1

，（0＜λ＜1），则P(

3

(1-λ)，0，λ)，分别求出平面PAC的法向量和平面ABC的法向量，利用向量法能求出存在满足条件的点P．

解答： 解：（1）以O为原点，OB，OC，OB₁分别为x，y，z轴，
建立如图的空间直角坐标系，
则A（0，-1，0），B（

3

，0，0），
C（0，1，0），B₁（0，0，1），
∴

BC

=(-

3

，1，0)，

CB1

=(0，-1，1)，
设平面BCC₁B₁的法向量

n

=(x，y，z)，
则

n • BC =- 3 x+y=0 n • CB1 =-y+z=0

，
取x=1，得

n

=（1，

3

，

3

），

AB

=（

3

，1，0），
则点A到平面BCC₁B₁的距离为：
||

AB

|cos＜

AB

，

n

＞|=

| AB • n |

| n |

=

2 21

7

．
（2）若存在满足条件的点P，设

BP

=λ

BB1

，（0＜λ＜1），
则P(

3

(1-λ)，0，λ)，
设平面PAC的法向量为

m

=（x₁，y₁，z₁），

AP

=(

3

(1-λ)，1，λ)，

CP

=(

3

(1-λ)，-1，λ)，
由

m • AP = 3 (1-λ)x1+y1+λz1=0 m • CP = 3 (1-λ)x1-y1+λz1=0

，
取x₁=1，得

m

=（1，0，-

3 (1-λ)

λ

），
平面ABC的法向量

k

=(0，0，1)，
∵二面角P-AC-B的大小为60°，
∴cos60°=|cos＜

m

，

k

＞|=|

| 3 (1-λ) λ |

1+(- 3 (1-λ) λ )2

|=

1

2

，
解得λ=

1

4

，
∴BB₁上存在点P，且BP=

1

4

BB₁，使得二面角P-AC-B的大小为60°．

点评：本题考查点到平面的距离的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．