Question

8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3$\sqrt{15}$，b-c=2，cosA=-$\frac{1}{4}$．
（Ⅰ）求a和sinC的值；
（Ⅱ）求cos（2A+$\frac{π}{6}$）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过三角形的面积以及已知条件求出b，c，利用正弦定理求解sinC的值；
（Ⅱ）利用两角和的余弦函数化简cos（2A+$\frac{π}{6}$），然后直接求解即可．

解答 解：（Ⅰ）在三角形ABC中，由cosA=-$\frac{1}{4}$，可得sinA=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，△ABC的面积为3$\sqrt{15}$，可得：$\frac{1}{2}bcsinA=3\sqrt{15}$，
可得bc=24，又b-c=2，解得b=6，c=4，由a²=b²+c²-2bccosA，可得a=8，
$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，解得sinC=$\frac{\sqrt{15}}{8}$；
（Ⅱ）cos（2A+$\frac{π}{6}$）=cos2Acos$\frac{π}{6}$-sin2Asin$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}（2{cos}^{2}A-1）-\frac{1}{2}×2sinAcosA$=$\frac{\sqrt{15}-7\sqrt{3}}{16}$．

点评 本题考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式，余弦定理的应用，考查计算能力．